Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
raiz[3]1+x^2

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função raiz[3]1+x^2 como série de potências usando a série binomial e determinar seu raio de convergência. Vamos aplicar a fórmula da série binomial para um expoente real.

Passo 2

Recordando a série binomial: para qualquer alphainR tem-se
(1+u)^alpha ;=; sumn=0^infty binomalphan u^n,
onde
binomalphan = alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)n!,
e a série converge para lvert urvert<1.

Passo 3

No nosso caso fazemos alpha = tfrac13 e u = x^2. Assim
raiz[3]1+x^2 = (1+u)^1/3 = sumn=0^infty binom1/3n,u^n = sumn=0^infty binom1/3n,x^2n

Passo 4

Escrevendo os primeiros coeficientes:
binom1/30=1, binom1/31=13, binom1/32=tfrac13(tfrac13-1)2!=-19, binom1/33=tfrac13(tfrac13-1)(tfrac33-2)3!=581,dots
Logo os primeiros termos da série são
raiz[3]1+x^2 =1+13x^2-19x^4+581x^6-cdots

Passo 5

Para convergência precisamos de lvert urvert<1, ou seja lvert x^2rvert<1, isto é
lvert xrvert<1
Portanto o raio de convergência é R=1.

Resposta

raiz[3]1+x^2 = sumn=0^infty binom1/3n,x^2n =1+13x^2-19x^4+581x^6-cdots, R=1

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