Calcule
integral-2^2 integral0^pi x sin (x y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral-2^2integral0^pi xsin(xy),dy,dx.
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema de Fubini para tratá-la como integral iterada e aplicar uma substituição simples na integral interna em y.

Passo 2

Calculemos a integral interna com a substituição u = x,y. Então du = x,dy, isto é, x,dy = du. Os limites em y vão de 0 a pi, que em u ficam 0 a xpi. Logo,
integral0^pi xsin(xy),dy = integral0^xpisin(u),du = l[-cos(u)r]0^xpi = -cos(xpi)+cos(0) = 1 - cos(xpi)

Passo 3

Substituindo na integral dupla, obtemos
integral-2^2integral0^pi xsin(xy),dy,dx = integral-2^2l(1 - cos(xpi)r),dx

Passo 4

Separemos em duas integrais:
integral-2^21,dx = 4,
integral-2^2cos(xpi),dx = [1pisin(xpi)]-2^2 = 1pil(sin(2pi)-sin(-2pi)r) = 0
Logo
integral-2^2l(1 - cos(xpi)r),dx = 4 - 0 = 4

Resposta

4

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