Use integral dupla para calcular o volume sob o plano z=x+y e acima do retângulo R=[0,1] times[0,3]. Faça um esboço do sólido.

Passo 1

O exercício pede o volume do sólido limitado abaixo pelo retângulo
;R = [0,1]times[0,3]
no plano xy e acima pelo plano z = x + y.
O método é usar integral dupla de f(x,y)=x+y sobre R.

Passo 2

Montamos a integral dupla como
V = integral duplaR(x+y),dA = integralx=0^1!integraly=0^3(x+y),dy,dx

Passo 3

Primeiro integramos em y:
integral0^3(x+y),dy = l[x,y + tfracy^22r]0^3 = 3x + tfrac92
Agora integramos em x:
V = integral0^1l(3x + tfrac92r),dx = l(tfrac3x^22 + tfrac9x2r)0^1 = tfrac32 + tfrac92 = 6

Passo 4

Para esboçar o sólido, observe os quatro vértices na base e suas alturas:
– Em (0,0), z=0.
– Em (1,0), z=1.
– Em (0,3), z=3.
– Em (1,3), z=4.
Conectando esses pontos forma-se um “telhado” plano sobre o retângulo.
Um desenho aproximado em projeção isométrica é:
l z uparrow | bul<=t ((1,3),(4)) | /| | / | | / | | / | | / | | bul<=t-----bul<=t | ((0,3),(3)) ((1,0),(1)) | bul<=t ((0,0),(0)) / / xto yto

Resposta

O volume do sólido é 6.

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