Fatore as seguintes expressões algébricas:
81-(2-x log 3 raiz[2]27)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fatorar a expressão algébrica 81 - (2 - x log3 raiz27)^2. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra, como fatoração por diferença de quadrados e propriedades dos logaritmos. Vamos precisar simplificar a expressão dentro do parênteses e aplicar essas técnicas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo dentro do logaritmo: raiz27. A raiz quadrada de 27 é igual a 27^1/2. Sabemos que 27 pode ser escrito como 3^3, então:
raiz27 = (3^3)^1/2 = 3^3/2

Passo 3

Agora, vamos calcular log3 3^3/2. A propriedade dos logaritmos que vamos usar aqui é loga a^b = b. Aplicando isso:
log3 3^3/2 = 32

Passo 4

Substituindo esse resultado na expressão original, temos:
81 - (2 - x cdot 32)^2 = 81 - (2 - 3x2)^2

Passo 5

Agora, vamos reconhecer que 81 é igual a 9^2, então nossa expressão fica:
9^2 - (2 - 3x2)^2

Passo 6

Aqui, podemos aplicar a diferença de quadrados, que diz que a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). Identificando a = 9 e b = 2 - 3x2, temos:
(9 - (2 - 3x2))(9 + (2 - 3x2))

Passo 7

Vamos simplificar cada fator separadamente:
Primeiro fator:
9 - 2 + 3x2 = 7 + 3x2
Segundo fator:
9 + 2 - 3x2 = 11 - 3x2

Passo 8

Portanto, a expressão fatorada fica:
(7 + 3x2)(11 - 3x2)

Resposta

A fatoração da expressão 81 - (2 - x log3 raiz27)^2 é:
(7 + 3x2)(11 - 3x2)

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