Fatore as seguintes expressões algébricas:
8 x^3+9 ln e^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de fatoração! A gente tem a expressão 8x^3 + 9 ln e^3. Vamos precisar entender um pouquinho de álgebra, especialmente como fatorar expressões algébricas, e também lembrar que logaritmos podem simplificar algumas partes da expressão. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o logaritmo que está na expressão: ln e^3 . Lembra que ln e^k = k, porque o logaritmo natural de e elevado a alguma potência é apenas essa potência. Então:
ln e^3 = 3

Passo 3

Agora que simplificamos o logaritmo, substituímos de volta na expressão original:
8x^3 + 9 ln e^3 = 8x^3 + 9 times 3 = 8x^3 + 27

Passo 4

Vamos fatorar a expressão 8x^3 + 27. Observamos que ambos os termos são cubos perfeitos: 8x^3 = (2x)^3 e 27 = 3^3. Então, temos:
8x^3 + 27 = (2x)^3 + 3^3

Passo 5

Para fatorar a soma de dois cubos, usamos a fórmula:
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
Aqui, a = 2x e b = 3.

Passo 6

Aplicando a fórmula na nossa expressão:
(2x)^3 + 3^3 = (2x + 3)[(2x)^2 - (2x)(3) + 3^2]
Vamos calcular cada parte dentro do parênteses:
(2x)^2 = 4x^2, (2x)(3) = 6x, 3^2 = 9
Então:
(2x + 3)(4x^2 - 6x + 9)

Resposta

A expressão fatorada é:
(2x + 3)(4x^2 - 6x + 9)

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