Calcule
integral0^1 raiz1-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral0^1raiz1-x^2,dx
Este é um caso clássico de integral envolvendo raiz quadrada da forma raiza^2-x^2. Vamos usar substituição trigonométrica para resolver.

Passo 2

Adotamos a substituição
x = sintheta,
pois então raiz1-x^2=raiz1-sin^2theta=costheta. Além disso,
dx = costheta,dtheta

Passo 3

Quando x varia de 0 a 1, theta varia de 0 a pi/2. Logo,
integral0^1raiz1-x^2,dx = integral0^pi/2costheta;l(costheta,dthetar) = integral0^pi/2cos^2theta,dtheta

Passo 4

Usamos a identidade de ângulo duplo
cos^2theta = 1+cos(2theta)2,
então
integral0^pi/2cos^2theta,dtheta = integral0^pi/21+cos(2theta)2,dtheta = 12integral0^pi/21,dtheta + 12integral0^pi/2cos(2theta),dtheta

Passo 5

Calculando cada termo:
12integral0^pi/21,dtheta = 12l[thetar]0^pi/2 = 12cdotpi2 = pi4,
12integral0^pi/2cos(2theta),dtheta = 12cdot12l[sin(2theta)r]0^pi/2 = 14l(sinpi - sin0r) = 0
Somando, a integral vale pi/4.

Resposta

pi4

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