Liste os primeiros dez termos da sequência
an=cos (n pi / 3)
Esta sequência parece convergir? Se sim, indique para onde e, em caso negativo explique o porquê.

Passo 1

O enunciado define a sequência an por
an = cosl(npi/3r),
pede para listar os primeiros dez termos e investigar se a sequência converge. Vamos usar propriedades de periodicidade da função cosseno e calcular cada termo.

Passo 2

Lembrando que cos(x) é 2pi-periódica, temos
cosl((n+6)pi3r) =cosl(npi3+2pir) =cosl(npi3r)
Logo an tem período 6 em n. Basta então calcular a1,dots,a6 e repetir o padrão.

Passo 3

Calculamos os seis primeiros termos:
a1 = cosl(tfracpi3r) = tfrac12, a2 = cosl(tfrac2pi3r) = -tfrac12, a3 = cos(pi) = -1,
a4 = cosl(tfrac4pi3r) = -tfrac12, a5 = cosl(tfrac5pi3r) = tfrac12, a6 = cos(2pi) = 1
Pelo período 6, os próximos quatro são iguais aos de n=1 a 4:
a7 = tfrac12, a8 = -tfrac12, a9 = -1, a10 = -tfrac12

Passo 4

Como os termos se repetem ciclicamente entre os valores
tfrac12,,-tfrac12,,-1,,-tfrac12,,tfrac12,,1,dots,
não há um único valor para o qual an tenda quando ntoinfty. Portanto a sequência não converge, pois oscila periodicamente.

Resposta

Os primeiros dez termos são
12,,-12,,-1,,-12,,12,,1,,12,,-12,,-1,,-12
A sequência não converge, já que é periódica de período 6 e não se aproxima de um valor único.

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