Calcule caso exista, o lim n +infty an, sendo an igual a
n[1-cos 1n]

Passo 1

O enunciado pede calcular limnto+inftyan para a sequência
an = nl[1 - cos1nr]
Aqui vamos usar limite de sequência e expansão de Taylor para funções trigonométricas em argumentos pequenos.

Passo 2

Fazemos a troca de variável h = 1/n. Quando nto+infty, vem hto0^+. Logo
an = nl(1 - cos1nr) = 1 - cos hh

Passo 3

Para avaliar limhto0(1-cos h)/h, usamos a expansão de Taylor de cos h em torno de h=0:
cos h = 1 - h^22 + o(h^2)
Então
1 - cos h = h^22 + o(h^2)

Passo 4

Substituindo na expressão de an:
1 - cos hh = tfrach^22 + o(h^2)h = h2 + o(h)
Como hto0, temos h2+o(h)to0.

Resposta

0

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