Calcule
mathscrLt e^3 t sen(t)(s).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace
mathscrLt,e^3tsin(t)(s).
Vamos usar duas propriedades:
  1. deslocamento exponencial: mathscrLe^atf(t)(s)=F(s-a),
  2. multiplicação por t: mathscrLt,f(t)(s)=-ddsF(s).

Passo 2

Começamos com sin(t):
mathscrLsin(t)(s)=1s^2+1
Aplicando o deslocamento a=3:
mathscrLe^3tsin(t)(s) =1(s-3)^2+1

Passo 3

Agora usamos a propriedade de multiplicação por t. Se
F(s)=mathscrLe^3tsin(t)(s) =1(s-3)^2+1,
então
mathscrLt,e^3tsin(t)(s) =-ddsF(s)

Passo 4

Calculando a derivada de F(s):
dds![1(s-3)^2+1] =-2(s-3)l((s-3)^2+1r)^2
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mathscrLt,e^3tsin(t)(s) =-l(-2(s-3)l((s-3)^2+1r)^2r) =2(s-3)l((s-3)^2+1r)^2

Resposta

2(s-3)l((s-3)^2+1r)^2

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