Calcule
mathscrL^-12 s-3s^2+2 s+10(t).

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
2s-3s^2+2s+10
ou seja, calcular mathscrL^-1(2s-3)/(s^2+2s+10)(t). Vamos usar completar o quadrado no denominador e depois aplicar os pares básicos
mathscrLe^-tcos(3t)=(s+1)/((s+1)^2+3^2) e
mathscrLe^-tsin(3t)=3/((s+1)^2+3^2).

Passo 2

Primeiro completamos o quadrado no denominador:
s^2+2s+10 = (s+1)^2 + 9
Em seguida escrevemos o numerador em função de (s+1):
2s-3 = 2l((s+1)-1r) -3 = 2(s+1) -5

Passo 3

Agora separamos a fração em duas parcelas:
2s-3s^2+2s+10 = 2(s+1)(s+1)^2+3^2 - 5(s+1)^2+3^2

Passo 4

Aplicamos a transformada inversa a cada termo:
mathscrL^-1l2(s+1)(s+1)^2+3^2r(t) = 2,e^-tcos(3t)
mathscrL^-1l5(s+1)^2+3^2r(t) = 5;mathscrL^-1l1(s+1)^2+3^2r(t) = 5cdot13,e^-tsin(3t) = 53,e^-tsin(3t)
Como o segundo termo vem com sinal negativo, a soma fica
2,e^-tcos(3t) ;-;53,e^-tsin(3t)

Resposta

boxed,mathscrL^-1ltfrac2s-3s^2+2s+10r(t) =2e^-tcos(3t)-tfrac53e^-tsin(3t),

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