Discuta o comportamento da série abaixo, justificando sua resposta:
Passo 1
Beleza! A gente vai analisar o comportamento da série
. O conteúdo principal aqui é séries infinitas e vamos precisar entender sobre convergência e alguns testes de série para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar geral para a série: ela é uma série alternada porque o termo
faz com que os sinais dos termos mudem de positivo para negativo e vice-versa. Então, temos uma série que alterna sinais.
Passo 3
Agora, vamos analisar o termo geral da série, que é
. Para saber se a série converge, precisamos verificar o limite do termo geral conforme
tende ao infinito.
Passo 4
Calculando o limite de
quando
vai para o infinito:
Isso porque
tende a zero, e qualquer número elevado a zero é 1.
Passo 5
Então, o limite de
é:
Isso significa que o termo geral não está se aproximando de zero, mas sim alternando entre
e
.
Passo 6
Segundo o teste da divergência, se o limite do termo geral não for zero, a série diverge. Já que
não tende a zero, a série não pode convergir.
Resposta
A série
diverge porque o limite do termo geral não é zero.