Discuta o comportamento da série abaixo, justificando sua resposta:
sumn=1^+infty(-1)^n 2^1 / n

Passo 1

Beleza! A gente vai analisar o comportamento da série sumn=1^+infty(-1)^n 2^1 / n. O conteúdo principal aqui é séries infinitas e vamos precisar entender sobre convergência e alguns testes de série para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar geral para a série: ela é uma série alternada porque o termo (-1)^n faz com que os sinais dos termos mudem de positivo para negativo e vice-versa. Então, temos uma série que alterna sinais.

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo geral da série, que é an = (-1)^n 2^1/n. Para saber se a série converge, precisamos verificar o limite do termo geral conforme n tende ao infinito.

Passo 4

Calculando o limite de 2^1/n quando n vai para o infinito:
limn to infty 2^1/n = 2^0 = 1
Isso porque 1/n tende a zero, e qualquer número elevado a zero é 1.

Passo 5

Então, o limite de an é:
limn to infty (-1)^n 2^1/n = (-1)^n cdot 1 = (-1)^n
Isso significa que o termo geral não está se aproximando de zero, mas sim alternando entre -1 e 1.

Passo 6

Segundo o teste da divergência, se o limite do termo geral não for zero, a série diverge. Já que an não tende a zero, a série não pode convergir.

Resposta

A série sumn=1^+infty(-1)^n 2^1 / n diverge porque o limite do termo geral não é zero.

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