Calcule, pela definição da transformada de Laplace, mathscrLcos t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, pela definição da transformada de Laplace, mathscrLcos t(s). O conteúdo é a aplicação da definição
mathscrLf(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
ao caso f(t)=cos t.

Passo 2

Aplicando a definição, obtemos
mathscrLcos t(s) =integral0^inftye^-stcos t,dt

Passo 3

Para calcular essa integral, fazemos integração por partes (duas vezes) ou recorremos à fórmula conhecida. Chega-se ao resultado indefinido
integral e^-stcos t,dt =e^-st(-scos t+sin t)s^2+1+C

Passo 4

Agora avaliamos de t=0 a ttoinfty:
integral0^inftye^-stcos t,dt =limTtoinfty[e^-sT(-scos T+sin T)s^2+1] -(-scos0+sin0)s^2+1
Para s>0, e^-sTto0 e cos0=1, sin0=0, portanto
mathscrLcos t(s) =0-gl(-ss^2+1gr) =ss^2+1

Passo 5

Observamos que a convergência exigiu s>0, condição usual para a transformada de Laplace.

Resposta

mathscrLcos t(s)=ss^2+1, s>0

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