Discuta o comportamento da série abaixo, justificando sua resposta:
sumn=1^+infty 2^n n!(n+2)!

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma série infinita: sumn=1^+infty 2^n n!(n+2)!. O que a gente precisa determinar é como essa série se comporta, ou seja, se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série para facilitar a análise. Sabemos que (n+2)! = (n+2)(n+1)n!, então podemos reescrever a fração:
2^n n!(n+2)! = 2^n n!(n+2)(n+1)n! = 2^n(n+2)(n+1)
Agora, a série fica:
sumn=1^+infty 2^n(n+2)(n+1)

Passo 3

Para determinar se essa série converge ou diverge, vamos usar o Teste da Razão, que é muito útil quando temos termos com fatoriais ou exponenciais. O Teorema da Razão nos diz que, se o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão. Primeiro, identificamos an = 2^n(n+2)(n+1) e an+1 = 2^n+1(n+3)(n+2).
Calculamos a razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty 2^n+1(n+3)(n+2) cdot (n+2)(n+1)2^n = limn to infty 2 cdot (n+1)n+3
Simplificando a expressão:
L = limn to infty 2(n+1)n+3 = limn to infty 2n + 2n + 3

Passo 5

Agora, para encontrar o limite, dividimos numerador e denominador por n:
L = limn to infty 2 + 2n1 + 3n = 2 + 01 + 0 = 2

Passo 6

Como L = 2, que é maior que 1, segundo o Teste da Razão, a série diverge. Isso significa que a soma dos termos dessa série não chega a um valor finito.

Resposta

A série sumn=1^+infty 2^n n!(n+2)! diverge.

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