Discuta o comportamento da série abaixo, justificando sua resposta:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma série infinita: . O que a gente precisa determinar é como essa série se comporta, ou seja, se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série para facilitar a análise. Sabemos que , então podemos reescrever a fração:
Agora, a série fica:
Passo 3
Para determinar se essa série converge ou diverge, vamos usar o Teste da Razão, que é muito útil quando temos termos com fatoriais ou exponenciais. O Teorema da Razão nos diz que, se o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão. Primeiro, identificamos e .
Calculamos a razão:
Simplificando a expressão:
L = limn to infty 2(n+1)n+3 = limn to infty 2n + 2n + 3
Passo 5
Agora, para encontrar o limite, dividimos numerador e denominador por n:
L = limn to infty 2 + 2n1 + 3n = 2 + 01 + 0 = 2
Passo 6
Como L = 2, que é maior que 1, segundo o Teste da Razão, a série diverge. Isso significa que a soma dos termos dessa série não chega a um valor finito.