Calcule lim x 7 raiz3 x+4-5raizx-5-raiz2

Passo 1

O enunciado pede a avaliação do seguinte limite, que ao substituir x=7 dá a forma indeterminada 0/0:
limxto7raiz3x+4-5raizx-5-raiz2
O conteúdo que vamos usar é a racionalização de expressões com raízes, que permite eliminar as indeterminações do tipo 0/0.

Passo 2

Verificamos a forma indefinida ao substituir x=7:
raiz3cdot7+4-5 = raiz25-5 = 5-5 = 0,
raiz7-5-raiz2 = raiz2-raiz2 = 0
Portanto, temos a forma 0/0 e precisamos manipular algebricamente.

Passo 3

Racionalizamos o numerador multiplicando numerador e denominador pela conjugada raiz3x+4+5:
raiz3x+4-5raizx-5-raiz2 ;cdot; raiz3x+4+5raiz3x+4+5 = (3x+4)-25(raizx-5-raiz2)(raiz3x+4+5) = 3x-21(raizx-5-raiz2)(raiz3x+4+5)

Passo 4

Note que 3x-21=3(x-7). Então
3(x-7)(raizx-5-raiz2)(raiz3x+4+5)
Também escrevemos x-7=(raizx-5)^2-2=(raizx-5-raiz2)(raizx-5+raiz2). Assim
3(raizx-5-raiz2)(raizx-5+raiz2) (raizx-5-raiz2)(raiz3x+4+5) = 3(raizx-5+raiz2)raiz3x+4+5

Passo 5

Agora calculamos o limite direto em x=7:
raizx-5+raiz2g|x=7 = raiz2+raiz2 = 2raiz2, raiz3x+4+5g|x=7 = raiz25+5 = 10
Logo o limite vale
3,(2raiz2)10 = 6raiz210 = 3raiz25

Resposta

3raiz25

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