Calcule lim x 0 raiz[3]x+1-1raiz[5]x+1-1

Passo 1

O enunciado pede
limxto0raiz[3]x+1-1raiz[5]x+1-1
Isso é um limite do tipo tfrac00. O conteúdo envolvido é reconhecimento de forma indeterminada e aplicação da Regra de L’Hôpital (ou expansão de binomial para pequenas potências).

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada: ao substituir x=0 obtemos raiz[3]1-1=0 no numerador e raiz[5]1-1=0 no denominador, isto é, 0/0. Logo podemos usar a Regra de L’Hôpital, que diz para derivar numerador e denominador em relação a x.

Passo 3

Derivamos as funções:
o numerador f(x)=raiz[3]x+1-1=(x+1)^1/3-1 tem derivada
f'(x)=13(x+1)^-tfrac23,
e o denominador g(x)=raiz[5]x+1-1=(x+1)^1/5-1 tem derivada
g'(x)=15(x+1)^-tfrac45

Passo 4

Pela Regra de L’Hôpital,
limxto0raiz[3]x+1-1raiz[5]x+1-1 =limxto0f'(x)g'(x) =limxto0tfrac13(x+1)^-tfrac23tfrac15(x+1)^-tfrac45 =tfrac13tfrac15;limxto0(x+1)^-tfrac23+tfrac45
Calculamos o expoente:
-tfrac23+tfrac45 =-tfrac1015+tfrac1215 =tfrac215,
e como limxto0(x+1)^2/15=1, sobra
tfrac13tfrac15=13cdot51=53

Resposta

53

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