Resolva as seguintes inequações:
x^2-25x+5>9

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x^2-25x+5>9
O conteúdo aqui é inequações racionais: precisamos determinar o domínio, passar tudo para um único quociente e usar um quadro de sinais para achar onde a fração é positiva.

Passo 2

Levo o 9 para o lado esquerdo e coloco tudo sob um só denominador:
x^2-25x+5-9>0 Longrightarrow x^2-25-9(x+5)x+5>0

Passo 3

Faço a conta no numerador:
x^2-25-9(x+5)=x^2-25-9x-45=x^2-9x-70
Agora fatoro essa expressão:
x^2-9x-70=(x-14)(x+5)
Então a inequação virou
(x-14)(x+5)x+5>0

Passo 4

Os pontos críticos são as raízes do numerador e do denominador:
  • Numerador nulo em x=14 e em x=-5.
  • Denominador nulo em x=-5 (aqui a expressão é indefinida).
Divido a reta real nos intervalos (-infty,-5), (-5,14) e (14,infty) e testo o sinal de
dfrac(x-14)(x+5)x+5:
1. Para x<-5:
x-14<0, x+5<0 Rightarrow numerador >0; denominador <0 Rightarrow fração <0.
2. Para -5<x<14:
x-14<0, x+5>0 Rightarrow numerador <0; denominador >0 Rightarrow fração <0.
3. Para x>14:
x-14>0, x+5>0 Rightarrow numerador >0; denominador >0 Rightarrow fração >0.

Passo 5

A inequação exige que a fração seja positiva, o que ocorre apenas em (14,infty). Além disso, x=-5 não está no domínio.

Resposta

x>14.

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