Resolva as seguintes inequações:
x^2-9x+4<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
x^2-9x+4<0
O conteúdo aqui é inequação racional: precisamos identificar domínio, fatorar o numerador e fazer análise de sinais em intervalos determinados pelos pontos em que o numerador zera ou o denominador se anula.

Passo 2

Identificamos os pontos críticos da expressão dfracx^2-9x+4:
– O numerador zera quando x^2-9=0, ou seja em x=3 e em x=-3.
– O denominador se anula em x+4=0, ou seja em x=-4.
Portanto o domínio é Rsetminus-4 e os pontos que dividem os intervalos são -infty,-4,-3,3,infty.

Passo 3

Fatoramos o numerador para expor o produto de fatores:
x^2-9x+4 =(x-3)(x+3)x+4

Passo 4

Vamos analisar o sinal de cada fator em cada um dos quatro intervalos:
Para x<-4:
,x-3<0,;x+3<0,;x+4<0.
Numerador (x-3)(x+3)>0, denominador <0, logo a fração é <0.
Para -4<x<-3:
,x-3<0,;x+3<0,;x+4>0.
Numerador >0, denominador >0, fração >0.
Para -3<x<3:
,x-3<0,;x+3>0,;x+4>0.
Numerador <0, denominador >0, fração <0.
Para x>3:
,x-3>0,;x+3>0,;x+4>0.
Numerador >0, denominador >0, fração >0.

Passo 5

Queremos dfrac(x-3)(x+3)x+4<0. Pelos sinais acima isso ocorre exatamente em
xin(-infty,-4)ou xin(-3,3)
Como a desigualdade é estrita, excluímos os pontos onde o numerador ou o denominador zera.

Resposta

xin(-infty,-4),cup,(-3,3)

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