Resolva as seguintes inequações:
2-x-x^2+2 x+3 <= 0

Passo 1

O enunciado pede pra gente resolver a inequação racional 2 - x-x^2 + 2x + 3 <= 0. O conteúdo é inequação de função racional: precisamos encontrar a condição de domínio, zeros do numerador e do denominador, montar o quadro de sinais e identificar onde a fração é negativa ou zero.

Passo 2

Primeiro passo de fato: achar o domínio, ou seja, garantir que o denominador não zere. Temos o denominador -x^2 + 2x + 3. Vamos resolver -x^2 + 2x + 3 = 0 para ver onde não podemos ter valores de x.
Resolva a equação do denominador:
-x^2 + 2x + 3 = 0
Multiplicando ambos os lados por -1:
x^2 - 2x - 3 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3)2 cdot 1 = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm 42
Então os zeros do denominador são x = 3 e x = -1. O domínio da inequação é x neq -1 e x neq 3.

Passo 3

Agora identificamos o zero do numerador 2 - x = 0, que ocorre em x = 2. Em seguida, vamos montar o quadro de sinais. Temos pontos críticos em -infty, -1, 2, 3, +infty.
Para cada intervalo, analisamos o sinal de numerador e denominador:
  • Em (-infty, -1): numerador 2 - x > 0, denominador -x^2+2x+3 < 0 ⇒ fração negativa.
  • Em (-1, 2): numerador 2 - x > 0, denominador -x^2+2x+3 > 0 ⇒ fração positiva.
  • Em (2, 3): numerador 2 - x < 0, denominador -x^2+2x+3 > 0 ⇒ fração negativa.
  • Em (3, +infty): numerador 2 - x < 0, denominador -x^2+2x+3 < 0 ⇒ fração positiva.

Passo 4

Queremos 2 - x-x^2 + 2x + 3 <= 0, ou seja, onde a fração é negativa ou zero. Ela é negativa em (-infty, -1) e em (2, 3). Além disso, podemos incluir o ponto x = 2 porque aí o numerador zera (fração igual a zero) e o denominador é -4 + 4 + 3 = 3 neq 0. Ainda não podemos incluir -1 nem 3 porque anulariam o denominador.

Resposta

S = (-\infty, -1) \cup [2, 3)

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