Calcule lim x 1 raiz[4]x-1raiz3 x+1-2

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto1raiz[4]x-1raiz3x+1-2
Este é um caso de forma indeterminada 0/0, pois ao substituir x=1 temos raiz[4]1-1=0 e raiz3cdot1+1-2=0. Vamos usar manipulações algébricas para “racionalizar” ambas as diferenças de radicais.

Passo 2

Racionalizamos o numerador raiz[4]x-1. Sabemos que
a-b = a^4-b^4a^3+a^2b+ab^2+b^3,
logo, tomando a=raiz[4]x e b=1, multiplicamos numerador e denominador por
l(raiz[4]xr)^3+l(raiz[4]xr)^2cdot1+raiz[4]xcdot1^2+1^3 = x^3/4+x^1/2+x^1/4+1
Isso transforma o numerador em x-1. Assim,
raiz[4]x-1raiz3x+1-2 = x-1l(raiz3x+1-2r),l(x^3/4+x^1/2+x^1/4+1r)

Passo 3

Agora racionalizamos o fator raiz3x+1-2 no denominador, multiplicando por
raiz3x+1+2
sobre si mesmo. O conjugado faz
(raiz3x+1-2)(raiz3x+1+2) = 3x+1 - 4 = 3(x-1)
Logo a expressão fica
x-1l(raiz3x+1-2r)l(x^3/4+x^1/2+x^1/4+1r) ;times; raiz3x+1+2raiz3x+1+2 = (x-1),(raiz3x+1+2)3(x-1),(x^3/4+x^1/2+x^1/4+1)

Passo 4

Cancelamos o fator comum x-1 (exceto quando x=1, mas vale no limite) e obtemos
raiz3x+1+23,l(x^3/4+x^1/2+x^1/4+1r)
Agora basta substituir x=1.

Passo 5

Substituindo x=1 temos
raiz3cdot1+1+2 = raiz4+2 = 2+2 = 4,
e
x^3/4+x^1/2+x^1/4+1 = 1+1+1+1 = 4
Portanto o limite é
43cdot4 = 412 = 13

Resposta

13

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