Calcule lim x 1^+ raizx+raizx-1-1raizx^2-1

Passo 1

O enunciado pede
limxto1^+raizx+raizx-1-1raizx^2-1
Vamos usar manipulação algébrica (racionalização de raizx-1 e separação em parcelas) para evitar a forma indeterminada 0/0.

Passo 2

Escrevemos o numerador como
raizx+raizx-1-1=(raizx-1)+raizx-1
e racionalizamos raizx-1:
raizx-1=(raizx-1)(raizx+1)raizx+1 =x-1raizx+1
Logo o limite fica
x-1raizx+1+raizx-1raizx^2-1

Passo 3

Observamos que
raizx^2-1=raizx-1,raizx+1,
então dividimos o numerador por raizx-1,raizx+1:
x-1(raizx+1),raizx-1,raizx+1 ;+; raizx-1raizx-1,raizx+1 = raizx-1(raizx+1),raizx+1 ;+; 1raizx+1

Passo 4

Agora, ao fazer xto1^+:
  • raizx-1to0, raizxto1 e raizx+1toraiz2.
  • A primeira parcela dfracraizx-1(raizx+1),raizx+1to0.
  • A segunda parcela dfrac1raizx+1todfrac1raiz2.
Portanto o limite é tfrac1raiz2.

Resposta

1raiz2

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