Resolva as seguintes inequações:
x^3-x2 x-1<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x^3-x2x-1<0
Isso envolve entender o domínio da expressão, fatorar o numerador e estudar os sinais de numerador e denominador para determinar onde a razão é negativa.

Passo 2

Primeiro, encontramos o domínio. A única restrição vem de não poder dividir por zero:
2x-1 neq 0 Longrightarrow x neq 12

Passo 3

Agora, fatoramos o numerador x^3 - x:
x^3-x = x,(x^2-1) = x,(x-1),(x+1)
Portanto, os zeros do numerador são x=-1, x=0 e x=1.

Passo 4

Precisamos estudar o sinal de cada fator em cada intervalo determinado por -1, 0, tfrac12 e 1.
1. Sinal de x,(x-1),(x+1):
  • Para x<-1: (x)!<0,;(x-1)<0,;(x+1)<0 Rightarrow produto <0.
  • Para -1<x<0: (x)<0,;(x-1)<0,;(x+1)>0 Rightarrow produto >0.
  • Para 0<x<1: (x)>0,;(x-1)<0,;(x+1)>0 Rightarrow produto <0.
  • Para x>1: todos os fatores >0 Rightarrow produto >0.
2. Sinal de 2x-1:
  • Para x<tfrac12: 2x-1<0.
  • Para x>tfrac12: 2x-1>0.

Passo 5

Agora montamos a tabela de sinais de dfracx(x-1)(x+1)2x-1:
Intervalo Numerador Denominador Razão
(-infty,-1) - - + (-1,0) + - - (0,tfrac12) - - + (tfrac12,1) - + - (1,infty) + + +
Queremos x^3-x2x-1<0, ou seja, razão negativa. Isso ocorre em (-1,0) e em l(tfrac12,1r). Além disso, não incluímos pontos onde o numerador é zero (pois ali a expressão vale 0, não é < 0) nem onde o denominador se anula ( x=tfrac12).

Resposta

(-1,0);cup;l(tfrac12,1r)

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