Resolva as seguintes inequações:
(x-2)(x+4)1-x >= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
(x-2)(x+4)1-x >= 0
que envolve um quociente de polinômios. Vamos precisar determinar o domínio (onde o denominador não anula), encontrar as raízes do numerador e do denominador, montar um estudo de sinal e, por fim, unir os intervalos onde a expressão é não negativa.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo que o denominador seja diferente de zero:
1 - x neq 0 Longrightarrow x neq 1

Passo 3

Identificamos os pontos em que cada fator se anula:
– Numerador: (x-2)(x+4)=0 dá raízes em x=2 e x=-4.
– Denominador: 1-x=0 dá ponto crítico em x=1.

Passo 4

Agora dividimos a reta real nos intervalos
(-infty,-4),;(-4,1),;(1,2),;(2,infty)
e determinamos o sinal de cada fator em cada trecho:
  1. Em x<-4:
    (x-2)<0,;(x+4)<0,;(1-x)>0
    logo (x-2)(x+4)1-x>0.
  2. Em -4<x<1:
    (x-2)<0,;(x+4)>0,;(1-x)>0
    logo (x-2)(x+4)1-x<0.
  3. Em 1<x<2:
    (x-2)<0,;(x+4)>0,;(1-x)<0
    logo (x-2)(x+4)1-x>0.
  4. Em x>2:
    (x-2)>0,;(x+4)>0,;(1-x)<0
    logo (x-2)(x+4)1-x<0.

Passo 5

Como a inequação é “ >=0”, incluímos os pontos em que o numerador zera ( x=-4 e x=2) e excluímos x=1 (denominador nulo). Portanto os intervalos onde a expressão é não negativa são
(-infty,-4]e(1,2]

Resposta

(-infty,-4]cup(1,2]

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