Calcule lim x -infty 4 x+3raiz9 x^2+3 x-2

Passo 1

O enunciado pede
limxto -infty4x+3raiz9x^2+3x-2
Aqui o grau do polinômio no numerador é igual ao grau do polinômio dentro da raiz no denominador, então vamos procurar os termos de maior ordem em x para determinar o comportamento assintótico.

Passo 2

No denominador, fatoramos x^2 dentro da raiz para expor o valor absoluto de x:
raiz9x^2+3x-2 =raizx^2l(9+3x-2x^2r) =|x|;raiz9+3x-2x^2

Passo 3

Como estamos fazendo xto -infty, temos |x|=-x. Substituindo no quociente,
4x+3raiz9x^2+3x-2 =4x+3|x|raiz9+3x-2x^2 =-4x+3x,raiz9+3x-2x^2
Agora separamos em fatores que tendem a constantes:
-4x+3x,raiz9+3x-2x^2 =-4+3xraiz9+3x-2x^2

Passo 4

Tomando xto -infty, tfrac3xto0 e tfrac2x^2to0. Logo
limxto -inftyl(4+tfrac3xr)=4, limxto -inftyl(9+tfrac3x-tfrac2x^2r)=9
Portanto
limxto -infty 4x+3raiz9x^2+3x-2 =-4raiz9 =-43

Resposta

-tfrac43

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