Calcule lim x -infty(raizx^2-5-raizx^2-5 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
L = limxto -infty l(raizx^2 - 5 - raizx^2 - 5xr)
O conteúdo envolve uma indeterminação do tipo infty - infty. Para resolver, vamos usar racionalização e análise assintótica de raízes de polinômio.

Passo 2

Quando xto -infty, temos
raizx^2 - 5sim |x|to+infty e
raizx^2 - 5xsim |x|to+infty,
logo a expressão é do tipo infty - infty, que requer manipulação algébrica.

Passo 3

Racionalizamos a diferença multiplicando pelo conjugado:
raizx^2 - 5 - raizx^2 - 5x = l(raizx^2 - 5 - raizx^2 - 5xr)l(raizx^2 - 5 + raizx^2 - 5xr)raizx^2 - 5 + raizx^2 - 5x = (x^2 - 5) - (x^2 - 5x)raizx^2 - 5 + raizx^2 - 5x

Passo 4

No numerador simplifica-se:
(x^2 - 5) - (x^2 - 5x) = -5 + 5x = 5(x - 1)
Assim
L = limxto -infty 5(x-1)raizx^2 - 5 + raizx^2 - 5x

Passo 5

Fatoramos |x| dentro das raízes lembrando que para xto -infty vale |x|=-x:
raizx^2 - 5 = -xraiz1 - 5x^2, raizx^2 - 5x = -xraiz1 - 5x
Substituindo em L e simplificando:
L = limxto -infty 5(x-1)-xl(raiz1-5/x^2 + raiz1-5/xr) = limxto -infty -5(x-1)xl(raiz1-5/x^2 + raiz1-5/xr)
Como x-1 = x(1 - 1/x), fica
L = limxto -infty -5x(1 - 1/x)xl(raiz1-5/x^2 + raiz1-5/xr) = limxto -infty -5(1 - 1/x)raiz1-5/x^2 + raiz1-5/x

Passo 6

Ao fazer xto -infty temos tfrac1xto0, tfrac5x^2to0, tfrac5xto0, então
raiz1-5/x^2to1, raiz1-5/xto1 e 1-1/xto1. Portanto
L = -5cdot 11 + 1 = -52

Resposta

-52

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