EXEMPLO 6 Utilize a Propriedade para estimar a integral integral duplaD e^sen x cos y d A, onde D é o disco com centro na origem e raio 2.
Solução Como -1 <= sen x <= 1 e-1 <= cos y <= 1, temos -1 <= sen x cos y <= 1 e, portanto,
e^-1 <= e^sen x cos y <= e
Assim, usando m=e^-1=1 / e, M=e, e A(D)=pi(2)^2 na Propriedade, obtemos
4 pie <= integral duplaD e^sen x cos y d A <= 4 pi e

Passo 1

O enunciado pede estimar
integral duplaD e^sin x ,cos y,dA
onde D é o disco de raio 2 centrado na origem, usando a propriedade de estimativa de integrais: se num domínio D temos
m <= f(x,y)<= M,
então
m,A(D)<= integral duplaD f(x,y),dA <= M,A(D)
Vamos identificar m, M e A(D).

Passo 2

Como
-1<= sin x<= 1 e -1<= cos y<= 1,
segue que
-1<= sin xcos y<= 1
e, elevando e a cada termo,
e^-1<= e^sin xcos y<= e^1,
isto é,
m = e^-1, M = e

Passo 3

O disco D de raio 2 tem área
A(D)=pi,(2)^2=4pi
Aplicando a propriedade de estimativa com m=e^-1, M=e e A(D)=4pi, obtemos
e^-1,4pi ;<=;integral duplaD e^sin xcos y,dA;<=;e,4pi

Resposta

4pie;<=;integral duplaD e^sin xcos y,dA;<=;4pi e

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