Calcule lim x pi2 1-sen x2 x-pi

Passo 1

O enunciado pede
limxtopi21-sin x2x-pi
Isso é um limite de quociente, e como veremos dá forma indeterminada tfrac00, vamos usar a regra de L’Hôpital (cálculo de limites via derivadas).

Passo 2

Verificamos o valor do numerador e do denominador em x=tfracpi2.
Para o numerador:
limxtopi2(1-sin x) =1-sinl(tfracpi2r) =1-1 =0
Para o denominador:
limxtopi2(2x-pi) =2cdottfracpi2-pi =pi-pi =0

Passo 3

Como obtemos a forma indeterminada tfrac00, aplicamos a regra de L’Hôpital, que afirma
limxto af(x)g(x) =limxto af'(x)g'(x),
se esse limite existir.

Passo 4

Calculamos as derivadas de numerador e denominador:
f(x)=1-sin x Longrightarrow f'(x)=-cos x,
g(x)=2x-pi Longrightarrow g'(x)=2
Então
limxtopi21-sin x2x-pi =limxtopi2-cos x2 =-cosl(tfracpi2r)2 =-02 =0

Resposta

0

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