i). Mostre que em
, sendo
positivo, é impossível se construir uma sequência infinita de números positivos e estritamente decrescentes a partir do
dado.
ii). Mostre que, ao contrário, em
, é perfeitamente possível tal construção.
ii). Mostre que, ao contrário, em
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, mostre que em
, dado um
, não existe sequência infinita
de inteiros positivos estritamente decrescentes a partir de
. Segundo, mostre que em
é possível ter tal sequência. Vamos usar o princípio da boa ordenação para
e construir explicitamente um exemplo em
.
Passo 2
Em
, usamos o princípio da boa ordenação que diz: “todo subconjunto não vazio de
tem um menor elemento”. Suponha, para chegar a uma contradição, que exista
Então o conjunto
é não vazio e, por boa ordenação, tem um mínimo
.
Passo 3
Se
é o menor elemento de
, existe algum índice
tal que
. Mas como a sequência é estritamente decrescente,
logo
é menor que
, contradição. Portanto não pode haver sequência infinita estritamente decrescente de inteiros positivos.
Passo 4
Em
, dado
, basta definir para todo
Cada
é racional e positivo, e
faz com que a sequência seja infinita, estritamente decrescente e permaneça em
.
Resposta
i) Em
é impossível ter sequência infinita de inteiros positivos estritamente decrescentes, por contradição ao princípio da boa ordenação.
ii) Em é possível; por exemplo,
é uma sequência infinita, positiva e estritamente decrescente.
ii) Em