i). Mostre que em Z, sendo x0 positivo, é impossível se construir uma sequência infinita de números positivos e estritamente decrescentes a partir do x0 dado.
ii). Mostre que, ao contrário, em Q, é perfeitamente possível tal construção.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, mostre que em Z, dado um x0>0, não existe sequência infinita l(xnr)n>=0 de inteiros positivos estritamente decrescentes a partir de x0. Segundo, mostre que em Q é possível ter tal sequência. Vamos usar o princípio da boa ordenação para Z^+ e construir explicitamente um exemplo em Q.

Passo 2

Em Z, usamos o princípio da boa ordenação que diz: “todo subconjunto não vazio de Z^+ tem um menor elemento”. Suponha, para chegar a uma contradição, que exista
(xn)n>=0subsetZ^+, x0>x1>x2>cdots>0
Então o conjunto
S=,xn: ninN
é não vazio e, por boa ordenação, tem um mínimo m.

Passo 3

Se m é o menor elemento de S, existe algum índice k tal que xk=m. Mas como a sequência é estritamente decrescente,
xk+1<xk=m,
logo xk+1in S é menor que m, contradição. Portanto não pode haver sequência infinita estritamente decrescente de inteiros positivos.

Passo 4

Em Q, dado x0>0, basta definir para todo n>=0
xn+1=xn2
Cada xn é racional e positivo, e
xn+1=tfrac12xn<xn
faz com que a sequência seja infinita, estritamente decrescente e permaneça em Q^+.

Resposta

i) Em Z é impossível ter sequência infinita de inteiros positivos estritamente decrescentes, por contradição ao princípio da boa ordenação.
ii) Em Q é possível; por exemplo, xn=x02^n é uma sequência infinita, positiva e estritamente decrescente.

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