Calcule lim x 0 1-cos 3 x1-cos 4 x

Passo 1

O enunciado pede
limxto 01-cos 3x1-cos 4x.
Isso é um limite do tipo 0/0 envolvendo funções trigonométricas. Vamos usar a identidade trigonométrica e a aproximação de pequenos ângulos para resolvê-lo.

Passo 2

Note que para qualquer a vale a identidade
1 - cos(ax) ;=; 2,sin^2!l(a x2r)
Aplicando essa fórmula ao numerador e ao denominador, obtemos
1-cos 3x1-cos 4x =2sin^2!l(tfrac3x2r)2sin^2(2x) =sin^2!l(tfrac3x2r)sin^2(2x)

Passo 3

Reescrevendo a razão como quadrado, temos
sin^2!l(tfrac3x2r)sin^2(2x) =gl[sin!l(tfrac3x2r)sin(2x)gr]^2
Agora basta calcular o limite interno
limxto 0sin(tfrac3x2)sin(2x).

Passo 4

Para x muito pequeno, usamos a aproximação
sin uapprox u.
Logo,
sin!l(tfrac3x2r)sin(2x) approxtfrac3x22x =34
Portanto
limxto0sin(tfrac3x2)sin(2x)=34

Passo 5

Voltando ao quadrado, o limite original é
l(tfrac34r)^2 =916

Resposta

916

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