i). Encontre infinitas representaçôes para o número racional r, se r=2 / 3.
ii). Idem, para o número racional 14/49.
iii). Encontre infinitas representaçôes fracionárias para um racional qualquer a / b.
iv). A lista que você obteve em (ii) inclui todas as possíveis representações para o caso de r=14 / 49 ? E na lista que você obteve em (i), para r=2 / 3 ?
v). Tente intuir e demonstrar sua conjectura: em que casos as representações indicadas em (iii) constituem todas as representações possíveis para o racional dado?

Passo 1

O enunciado pede para exibirmos infinitas representações fracionárias de certos números racionais e depois investigar se elas cobrem todas as possibilidades. O conteúdo usado é a equivalência de frações:
sejam a,binZ, bneq0; para todo inteiro kneq0 vale
ab=kakb

Passo 2

(i) Para r=tfrac23, bastam todos os múltiplos pelo mesmo inteiro kneq0:
23 =2k3k,
com exemplos tfrac46,tfrac69,tfrac812,dots. Isso gera infinitas representações.

Passo 3

(ii) Para r=tfrac1449, de modo análogo:
1449 =14k49k,
por exemplo tfrac2898,tfrac42147,dots. Note que gcd(14,49)=7, então a forma reduzida é tfrac27, mas aqui usamos a forma dada no enunciado.

Passo 4

(iii) Para um racional genérico tfracab (com a,b inteiros e bneq0), todas as representações obtidas por multiplicar numerador e denominador por kneq0 são
ab =kakb,
o que fornece infinitas frações equivalentes.

Passo 5

(iv)
– Para r=tfrac1449, a lista tfrac14k49k não inclui as formas simplificadas como tfrac27,tfrac414 etc., pois para obter tfrac27 seria preciso usar k=tfrac17, que não é inteiro. Logo não cobre todas as representações.
– Para r=tfrac23, como gcd(2,3)=1, toda fração tfracpq igual a tfrac23 satisfaz 2q=3p. Da teoria de divisibilidade, 3mid q, digamos q=3k, e então p=2k. Assim qualquer representação é da forma tfrac2k3k. Logo a lista cobre todas as representações.

Passo 6

(v) Conjectura e demonstração:
As representações tfrackakb constituem todas as possíveis frações iguais a tfracab se e somente se gcd(a,b)=1.
Demonstração (caso gcd(a,b)=1): seja tfracpq=tfracab. Então pb=qa. Como gcd(a,b)=1, segue bmid q, isto é, q=bk para algum inteiro k. Substituindo em pb=qa p,b=(b,k),a, logo p=ak. Concluímos tfracpq=tfracakbk.
Se gcd(a,b)>1, existem divisores comuns que permitem escrever formas simplificadas l(tfraca/db/dr) não incluídas na família tfrackakb para kinZ.

Resposta

i) 23=2k3k,;kinZsetminus0.
ii) 1449=14k49k,;kinZsetminus0.
iii) ab=kakb,;kinZsetminus0.
iv) Para 1449: não, faltam as formas simplificadas. Para 23: sim, cobre todas.
v) A família tfrackakb é exaustiva Leftrightarrow gcd(a,b)=1.

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