i). Encontre infinitas representaçôes para o número racional
, se
.
ii). Idem, para o número racional 14/49.
iii). Encontre infinitas representaçôes fracionárias para um racional qualquer
.
iv). A lista que você obteve em (ii) inclui todas as possíveis representações para o caso de
? E na lista que você obteve em (i), para
?
v). Tente intuir e demonstrar sua conjectura: em que casos as representações indicadas em (iii) constituem todas as representações possíveis para o racional dado?
ii). Idem, para o número racional 14/49.
iii). Encontre infinitas representaçôes fracionárias para um racional qualquer
iv). A lista que você obteve em (ii) inclui todas as possíveis representações para o caso de
v). Tente intuir e demonstrar sua conjectura: em que casos as representações indicadas em (iii) constituem todas as representações possíveis para o racional dado?
Passo 1
O enunciado pede para exibirmos infinitas representações fracionárias de certos números racionais e depois investigar se elas cobrem todas as possibilidades. O conteúdo usado é a equivalência de frações:
sejam ,
; para todo inteiro
vale
sejam
Passo 2
(i) Para
, bastam todos os múltiplos pelo mesmo inteiro
:
com exemplos
. Isso gera infinitas representações.
Passo 3
(ii) Para
, de modo análogo:
por exemplo
. Note que
, então a forma reduzida é
, mas aqui usamos a forma dada no enunciado.
Passo 4
(iii) Para um racional genérico
(com
inteiros e
), todas as representações obtidas por multiplicar numerador e denominador por
são
o que fornece infinitas frações equivalentes.
Passo 5
(iv)
– Para , a lista
não inclui as formas simplificadas como
etc., pois para obter
seria preciso usar
, que não é inteiro. Logo não cobre todas as representações.
– Para , como
, toda fração
igual a
satisfaz
. Da teoria de divisibilidade,
, digamos
, e então
. Assim qualquer representação é da forma
. Logo a lista cobre todas as representações.
– Para
– Para
Passo 6
(v) Conjectura e demonstração:
As representações constituem todas as possíveis frações iguais a
se e somente se
.
Demonstração (caso ): seja
. Então
. Como
, segue
, isto é,
para algum inteiro
. Substituindo em
dá
, logo
. Concluímos
.
Se , existem divisores comuns que permitem escrever formas simplificadas
não incluídas na família
para
.
As representações
Demonstração (caso
Se
Resposta
i)
.
ii) .
iii) .
iv) Para : não, faltam as formas simplificadas. Para
: sim, cobre todas.
v) A família é exaustiva
.
ii)
iii)
iv) Para
v) A família