Sendo a / b uma fração irredutível com a neq 0, prove que a soma 1 / a+1 / b também é uma fraçâo irredutível.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma fração irreduzível tfracab com aneq0. Irredutível significa
gcd(a,b)=1
O que pedem é mostrar que
1a + 1b
também é irredutível, ou seja, que numerador e denominador dessa soma são primos entre si.

Passo 2

Calculemos a soma em uma única fração:
1a + 1b = b + aab = a+bab
Para provar que essa fração é irredutível precisamos mostrar que
gcdl(a+b,;abr)=1

Passo 3

Seja d=gcd(a+b,,ab). Qualquer divisor primo p de d satisfaz
pmid(a+b) e pmid ab
Da segunda relação vem pmid a ou pmid b.
  • Se pmid a, então de pmid(a+b) segue pmid b.
  • Se pmid b, então de pmid(a+b) segue pmid a.
Em qualquer caso, p dividiria simultaneamente a e b, o que contraria gcd(a,b)=1, a menos de p=1. Logo não existe primo p>1 dividindo d.

Passo 4

Como não há nenhum divisor primo comum, concluímos
gcd(a+b,,ab)=1,
isto é, tfraca+bab é irreduzível.

Resposta

A soma tfrac1a+tfrac1b=tfraca+bab é irreduzível.

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