Sendo
uma fração irredutível com
, prove que a soma
também é uma fraçâo irredutível.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma fração irreduzível
com
. Irredutível significa
O que pedem é mostrar que
também é irredutível, ou seja, que numerador e denominador dessa soma são primos entre si.
Passo 2
Calculemos a soma em uma única fração:
Para provar que essa fração é irredutível precisamos mostrar que
Passo 3
Seja
. Qualquer divisor primo
de
satisfaz
Da segunda relação vem
ou
.
- Se
, então de segue . - Se
, então de segue .
Em qualquer caso,
dividiria simultaneamente
e
, o que contraria
, a menos de
. Logo não existe primo
dividindo
.
Passo 4
Como não há nenhum divisor primo comum, concluímos
isto é,
é irreduzível.
Resposta
A soma
é irreduzível.