Calcule lim x 2 sen(x-2)-tan (x-2)x^2-4

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto 2sin(x-2)-tan(x-2)x^2-4
O conteúdo envolve limites do tipo 0/0, e podemos usar a substituição h=x-2 com séries de Taylor ou o Teorema de l’Hôpital.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada. Quando xto2 temos x-2to0, logo
sin(x-2)to0, tan(x-2)to0 e x^2-4=0.
Portanto é 0/0 e podemos prosseguir.

Passo 3

Façamos h=x-2. Então hto0 e
x^2-4 = (2+h)^2-4 = 4+4h+h^2-4 = h(4+h)
A expressão vira
sin h-tan hh(4+h)

Passo 4

Desenvolvendo em série de Taylor em torno de h=0:
sin h = h - h^36 + O(h^5), tan h = h + h^33 + O(h^5)
Logo
sin h - tan h = -h^36 - h^33 + O(h^5) = -h^32 + O(h^5)
Substituindo em tfracsin h-tan hh(4+h),
-tfrach^32 + O(h^5)h(4+h) = -h^22(4+h) + O(h^4) longrightarrow 0 (hto0)

Passo 5

Alternativa pelo Teorema de l’Hôpital:
derivada do numerador em x é cos(x-2)-sec^2(x-2), e do denominador é 2x.
Em x=2 isso vale
1 - 14 = 0
Portanto o limite é 0.

Resposta

0

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