Sendo
uma fração irredutível, com
, prove que a soma
também é uma fração irredutível.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma fração irredutível, ou seja,
e
são inteiros com
e
. Queremos mostrar que
é também uma fração irredutível. Para isso usaremos a definição: uma fração é irredutível se e somente se
.
é também uma fração irredutível. Para isso usaremos a definição: uma fração
Passo 2
Primeiro, somamos as frações e colocamos no mesmo denominador:
Logo basta provar que
.
Passo 3
Defina
. Seja
um primo divisor de
. Então
, o que implica que
ou
.
Passo 4
Suponha
. Como
e
, segue
e portanto
. Mas isso contradiz
. De modo análogo, se
chega-se a
, também contraditório.
Passo 5
Não existe primo
que divida simultaneamente
e
. Logo
e a fração
é irredutível.
é irredutível.
Resposta
A soma
é uma fração irredutível.