Sendo a / b uma fração irredutível, com a neq 0, prove que a soma a / b+b / a também é uma fração irredutível.

Passo 1

O enunciado diz que ab é uma fração irredutível, ou seja, a e b são inteiros com gcd(a,b)=1 e aneq0. Queremos mostrar que
ab + ba
é também uma fração irredutível. Para isso usaremos a definição: uma fração mn é irredutível se e somente se gcd(m,n)=1.

Passo 2

Primeiro, somamos as frações e colocamos no mesmo denominador:
ab + ba = a^2 + b^2ab
Logo basta provar que gcd(a^2+b^2,;ab)=1.

Passo 3

Defina d = gcd(a^2+b^2,;ab). Seja p um primo divisor de d. Então pmid ab, o que implica que pmid a ou pmid b.

Passo 4

Suponha pmid a. Como pmid a^2 e pmid a^2+b^2, segue pmid b^2 e portanto pmid b. Mas isso contradiz gcd(a,b)=1. De modo análogo, se pmid b chega-se a pmid a, também contraditório.

Passo 5

Não existe primo p que divida simultaneamente a^2+b^2 e ab. Logo d=1 e a fração
a^2+b^2ab
é irredutível.

Resposta

A soma ab + ba = a^2 + b^2ab é uma fração irredutível.

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