Calcule lim x 1(1+cos (pi x)x^2-2 x+1)

Passo 1

O enunciado pede
limxto11+cos(pi x)x^2-2x+1
Note que x^2-2x+1=(x-1)^2 e ao substituir x=1 tanto o numerador quanto o denominador vão a zero, formando uma indeterminação 0/0. Vamos usar expansão em série (Taylor) perto de x=1.

Passo 2

Defina h = x-1, de modo que x=1+h e hto0. Então
x^2-2x+1 = (1+h)^2 -2(1+h)+1 = h^2
e
1+cos(pi x) = 1+cosl(pi(1+h)r) = 1+cos(pi+pi h)
Como cos(pi+theta)=-costheta, isso vira
1+cos(pi x) = 1 - cos(pi h)

Passo 3

Para h pequeno usamos a expansão
cos(pi h) = 1 - (pi h)^22 + o(h^2)
Logo
1 - cos(pi h) = pi^2 h^22 + o(h^2)

Passo 4

Substituindo no quociente original, em termos de h, temos
1+cos(pi x)x^2-2x+1 = pi^2 h^22 + o(h^2)h^2 = pi^22 + o(1)
Ao fazer hto0, o o(1) some e o limite é pi^2/2.

Resposta

pi^22

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