Mostre que se a soma de duas fraçôes irredutíveis é uma fração tipo a/1 (com a inteiro), então essas duas frações têm o mesmo denominador.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas frações irreduzíveis
mn com gcd(m,n)=1
e
pq com gcd(p,q)=1,
e que
mn + pq = a,
onde a é inteiro.
O objetivo é mostrar que necessariamente n=q.

Passo 2

Isolamos mn a partir da equação dada:
mn = a - pq = aq - pq

Passo 3

Vamos ver o máximo divisor comum entre numerador e denominador de aq-pq. Usamos a propriedade
gcd(aq-p,;q) = gcd(-p,;q) = gcd(p,q)
Como gcd(p,q)=1 (a fração tfracpq é irreduzível), segue que
gcd(aq-p,;q)=1

Passo 4

Portanto aq-pq já está em forma irredutível. Mas vimos que
mn = aq-pq,
e sabemos que a representação de um número racional em fração irredutível é única. Logo o denominador dessa fração única deve coincidir, ou seja
n = q

Resposta

n = q

Exercícios relacionados