Resolva as seguintes inequações:
2+x(x+5)^2<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
2+x(x+5)^2<0
Este é um problema de inequação racional; para resolvê-lo, vamos estudar o sinal do numerador e do denominador.

Passo 2

Identificamos os pontos críticos:
  • O numerador 2+x anula-se em x=-2.
  • O denominador (x+5)^2 anula-se em x=-5, mas nesse valor a expressão não está definida (não podemos dividir por zero).
Logo, o domínio é xneq -5, e os valores que podem mudar o sinal da fração são x=-2 e x=-5.

Passo 3

O denominador (x+5)^2 é um quadrado, logo é sempre não-negativo e só zera em x=-5. Para todo xneq -5 temos
(x+5)^2>0
Isto significa que o sinal da fração
2+x(x+5)^2
é o mesmo do numerador 2+x, pois dividimos por algo positivo.

Passo 4

Para que a fração seja negativa, basta que o numerador seja negativo:
2+x<0 Longrightarrow x< -2
Lembrando de excluir x=-5 (fora do domínio), obtemos como solução todos os x menores que -2, exceto -5.

Resposta

(-infty,-5);cup;(-5,-2)

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