Calcule lim x infty(4 x+34 x+2)^x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui: precisamos calcular o limite quando x tende ao infinito de (4x + 34x + 2)^x . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite. Observa que:
4x + 34x + 2 = 1 + 14x + 2
Isso ajuda a deixar a expressão mais fácil de manusear.

Passo 3

Agora, nossa expressão fica:
(1 + 14x + 2)^x
Sabemos que quando temos algo do tipo (1 + ax)^x , conforme x vai para o infinito, isso se aproxima de e^a . Essa é uma propriedade fundamental dos limites envolvendo exponenciais.

Passo 4

Comparando com a nossa expressão, vemos que:
a = 14
Pois 14x + 2 é aproximadamente 14x quando x é muito grande. Então, o limite fica:
e^14

Resposta

O limite é e^14 .

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