Resolva as seguintes inequações:
1x^2-9 >= 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
1x^2-9 >= 2
Aqui o conteúdo é “análise de inequações racionais”: vamos transformar tudo numa única fração e estudar o sinal do numerador e do denominador.

Passo 2

Subtraímos 2 de ambos os lados para ter uma única fração maior ou igual a zero:
1x^2-9 - 2 >= 0
colocando sobre o mesmo denominador ,x^2-9:
1 - 2(x^2 - 9)x^2 - 9 >= 0
Agora simplificamos o numerador:
1 - 2(x^2 - 9) = 1 - 2x^2 + 18 = 19 - 2x^2
Portanto a inequação vira
19 - 2x^2x^2 - 9 >= 0

Passo 3

Identificamos os pontos críticos, onde numerador ou denominador se anulam:
19 - 2x^2 = 0 Longrightarrow x^2 = tfrac192 Longrightarrow x = pm raiztfrac192,
e
x^2 - 9 = 0 Longrightarrow x = pm 3
Note que em x=pm3 o denominador zera, portanto essas raízes não pertencem ao domínio.

Passo 4

Fazemos o estudo de sinal da fração
19 - 2x^2x^2 - 9
nos intervalos determinados pelos pontos
-infty,; -raiztfrac192,; -3,; 3,; raiztfrac192,; +infty
  1. Para lvert xrvert > raiztfrac192, o numerador 19-2x^2 é negativo e o denominador x^2-9 é positivo ( lvert xrvert>3), logo a fração é negativa.
  2. Em -raiztfrac192<x<-3, temos x^2<tfrac192 (numerador positivo) e lvert xrvert>3 (denominador positivo), logo a fração é positiva.
  3. Em -3<x<3, o denominador é negativo e, como x^2<tfrac192, o numerador é positivo, resultando fração negativa.
  4. Em 3<x<raiztfrac192, temos x^2<tfrac192 (numerador positivo) e lvert xrvert>3 (denominador positivo), logo fração positiva.
Queremos as partes onde a fração é maior ou igual a zero. Incluímos também os pontos em que o numerador se anula ( =0), mas excluímos onde o denominador se anula.

Passo 5

Das regiões acima, a fração é não-negativa em
-raiztfrac192 <= x < -3 e 3 < x <= raiztfrac192

Resposta

boxed[-raiztfrac192,,-3);cup;l(3,;raiztfrac192r]

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