Usando o Teorema Fundamental da Aritmética, caracterize os casos em que o produto das frações a/be c/d é da forma n/1. Justifique.
Passo 1
O enunciado pede as condições para que
, ou seja, para que o produto das frações seja um número inteiro. O conteúdo principal é o Teorema Fundamental da Aritmética, que garante fatoração única em primos, e vamos usá-lo para examinar como os fatores se cancelam.
Passo 2
Calculamos o produto:
Para que isso seja da forma
, é necessário e suficiente que
Passo 3
Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, cada inteiro positivo tem fatoração única em primos. Para cada primo
, definimos a valuation
como a potência de
que divide
. Então
A condição
equivale a
para todo primo
.
Passo 4
Isso significa que todos os fatores primos presentes em
ou em
aparecem em
ou em
com pelo menos a mesma soma de expoentes, garantindo o cancelamento completo dos fatores do denominador.
Passo 5
No caso especial em que as frações estão irredutíveis, isto é,
temos
e
para todo
. A desigualdade
implica então
Em termos de divisibilidade, isso equivale a
Resposta
O produto
é inteiro se, e somente se, na fatoração em primos de
a seguinte condição vale para todo primo
:
Em particular, se
, isso equivale a
e
.