Usando o Teorema Fundamental da Aritmética, caracterize os casos em que o produto das frações a/be c/d é da forma n/1. Justifique.

Passo 1

O enunciado pede as condições para que abcdotcd=n1, ou seja, para que o produto das frações seja um número inteiro. O conteúdo principal é o Teorema Fundamental da Aritmética, que garante fatoração única em primos, e vamos usá-lo para examinar como os fatores se cancelam.

Passo 2

Calculamos o produto:
abcdotcd=acbd
Para que isso seja da forma n1, é necessário e suficiente que
bdmid ac

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, cada inteiro positivo tem fatoração única em primos. Para cada primo p, definimos a valuation nup(x) como a potência de p que divide x. Então
nup(ac)=nup(a)+nup(c),
nup(bd)=nup(b)+nup(d)
A condição bdmid ac equivale a
nup(b)+nup(d)<=nup(a)+nup(c)
para todo primo p.

Passo 4

Isso significa que todos os fatores primos presentes em b ou em d aparecem em a ou em c com pelo menos a mesma soma de expoentes, garantindo o cancelamento completo dos fatores do denominador.

Passo 5

No caso especial em que as frações estão irredutíveis, isto é,
gcd(a,b)=1 e gcd(c,d)=1,
temos nup(a),nup(b)=0 e nup(c),nup(d)=0 para todo p. A desigualdade
nup(b)+nup(d)<=nup(a)+nup(c)
implica então
nup(b)<=nup(c),
nup(d)<=nup(a)
Em termos de divisibilidade, isso equivale a
bmid c,
dmid a

Resposta

O produto abcdotcd é inteiro se, e somente se, na fatoração em primos de a,b,c,d a seguinte condição vale para todo primo p:
nup(a)+nup(c);>=;nup(b)+nup(d)
Em particular, se gcd(a,b)=gcd(c,d)=1, isso equivale a bmid c e dmid a.

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