Calcule
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais, seguida de integrais elementares (logaritmo, potência e arctan). Vamos separar a razão racional em termos simples cuja antiderivada conhecemos.
Passo 2
Proponho a seguinte decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
e agrupando termos, obtemos a identidade polinomial
Expandindo e igualando coeficientes em
, formamos um sistema linear para
.
Passo 3
Resolvendo o sistema, achamos
Logo
Passo 4
Escrevemos a integral como soma de três integrais:
Passo 5
As duas primeiras são diretas:
Passo 6
Para a terceira, note que
Então
Fazendo
para o primeiro e sabendo que
, e que
, obtemos
Multiplicando pelo fator
, a terceira integral é
Passo 7
Somando tudo, a antiderivada fica