Calcule integral 1(x-1)^2(x^2+2 x+2) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral 1(x-1)^2l(x^2+2x+2r),dx
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais, seguida de integrais elementares (logaritmo, potência e arctan). Vamos separar a razão racional em termos simples cuja antiderivada conhecemos.

Passo 2

Proponho a seguinte decomposição em frações parciais:
1(x-1)^2(x^2+2x+2) =Ax-1+B(x-1)^2 +Cx+Dx^2+2x+2
Multiplicando ambos os lados por (x-1)^2(x^2+2x+2) e agrupando termos, obtemos a identidade polinomial
1 =A,(x-1)(x^2+2x+2) +B,(x^2+2x+2) +(Cx+D),(x-1)^2
Expandindo e igualando coeficientes em x^3,x^2,x,1, formamos um sistema linear para A,B,C,D.

Passo 3

Resolvendo o sistema, achamos
A=-425, B=15, C=425, D=725
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1(x-1)^2(x^2+2x+2) =-4/25x-1 +1/5(x-1)^2 +tfrac425x+tfrac725x^2+2x+2

Passo 4

Escrevemos a integral como soma de três integrais:
integral1(x-1)^2(x^2+2x+2),dx =-425integraldxx-1 +15integraldx(x-1)^2 +125integral4x+7x^2+2x+2,dx

Passo 5

As duas primeiras são diretas:
-425integraldxx-1 =-425lnlvert x-1rvert, 15integral(x-1)^-2dx =-15(x-1)

Passo 6

Para a terceira, note que
x^2+2x+2=(x+1)^2+1, 4x+7=4(x+1)+3
Então
integral4x+7x^2+2x+2,dx =integral4(x+1)(x+1)^2+1,dx +integral3(x+1)^2+1,dx
Fazendo u=(x+1)^2+1 para o primeiro e sabendo que integral du/u= ln u, e que integral dz/(z^2+1)=arctan z, obtemos
integral4(x+1)(x+1)^2+1,dx =2lnl((x+1)^2+1r), integral3(x+1)^2+1,dx =3arctan(x+1)
Multiplicando pelo fator 1/25, a terceira integral é
125l[2lnl((x+1)^2+1r)+3arctan(x+1)r]

Passo 7

Somando tudo, a antiderivada fica
-425lnlvert x-1rvert -15(x-1) +225lnl(x^2+2x+2r) +325arctan(x+1) +C

Resposta

boxed integral 1(x-1)^2(x^2+2x+2),dx =-425lnlvert x-1rvert -15(x-1) +225lnl(x^2+2x+2r) +325arctan(x+1) +C

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