Resolva as seguintes inequações:
x^3+2 x^2+3 x+2 >= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
x^3 + 2x^2 + 3x + 2 >= 0
Este é um problema de inequação polinomial de grau 3. Para solucioná-lo, vamos fatorar o polinômio e depois analisar o sinal de cada fator.

Passo 2

Buscamos raízes racionais pelo Teorema do Resto. Testando x=-1:
(-1)^3 + 2(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -1 + 2 - 3 + 2 = 0,
logo x+1 é fator. Fazendo a divisão sintética ou polinomial, obtemos
x^3 + 2x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x^2 + x + 2)

Passo 3

Analisamos o discriminante do quadrático x^2+x+2:
De<a = 1^2 - 4cdot1cdot2 = 1 - 8 = -7 < 0
Como o coeficiente líder é positivo e De<a<0, segue que
x^2 + x + 2 > 0para todo xinR

Passo 4

Portanto
x^3 + 2x^2 + 3x + 2 = (x+1),(x^2+x+2)
tem o mesmo sinal de x+1. A inequação
(x+1)(x^2+x+2)>= 0
reduz-se a
x+1>= 0,
isto é,
x>= -1

Resposta

xin[-1,infty)

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