Prove que a lei de integridade
ou
é consequência das demais propriedades listadas no teorema anterior. Isto também vale no caso do do campo dos inteiros?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em qualquer corpo
, a condição
implica
Vamos usar as propriedades de corpo listadas: associatividade, comutatividade, elemento neutro e inverso aditivo, distributividade e existência de inverso multiplicativo para todo
.
Passo 2
Primeiro provamos o lema
Pela distributividade temos
Agora somamos o inverso aditivo de
a ambos os lados:
Passo 3
Suponha que
. Se
já acabou. Caso
, existe o inverso multiplicativo
. Multiplicando
obtemos, pela associatividade,
Logo em todo caso
ou
.
Passo 4
Quanto aos inteiros,
não é corpo (nem todo elemento não nulo tem inverso), mas é um domínio de integridade, ou seja, não tem divisores de zero. Uma prova rápida usa o valor absoluto: se
e
, então
implica
ou
, logo
ou
. Assim a lei de integridade vale também em
.
Resposta
A lei de integridade decorre diretamente da existência de inversos em um corpo e da distributividade. E, embora
não seja corpo, ela também satisfaz
ou
por ser domínio de integridade.