Prove que a lei de integridade (r cdot s=0 Rightarrow r=0 ou s=0) é consequência das demais propriedades listadas no teorema anterior. Isto também vale no caso do do campo dos inteiros?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em qualquer corpo K, a condição
rcdot s = 0
implica
r=0ou s=0
Vamos usar as propriedades de corpo listadas: associatividade, comutatividade, elemento neutro e inverso aditivo, distributividade e existência de inverso multiplicativo para todo rneq0.

Passo 2

Primeiro provamos o lema
rcdot0=0forall,rin K
Pela distributividade temos
rcdot0 ;=; rcdot(0+0) ;=;rcdot0 + rcdot0
Agora somamos o inverso aditivo de rcdot0 a ambos os lados:
(rcdot0) + l(-(rcdot0)r) ;=;l(rcdot0 + rcdot0r) + l(-(rcdot0)r) ;Longrightarrow;0 = rcdot0

Passo 3

Suponha que rcdot s=0. Se r=0 já acabou. Caso rneq0, existe o inverso multiplicativo r^-1. Multiplicando
r^-1cdot(rcdot s)=r^-1cdot0
obtemos, pela associatividade,
(r^-1cdot r)cdot s = 0 ;Longrightarrow; 1cdot s = 0 ;Longrightarrow; s=0
Logo em todo caso r=0 ou s=0.

Passo 4

Quanto aos inteiros, Z não é corpo (nem todo elemento não nulo tem inverso), mas é um domínio de integridade, ou seja, não tem divisores de zero. Uma prova rápida usa o valor absoluto: se a,binZ e ab=0, então
|ab| = |a|;|b| = 0
implica |a|=0 ou |b|=0, logo a=0 ou b=0. Assim a lei de integridade vale também em Z.

Resposta

A lei de integridade decorre diretamente da existência de inversos em um corpo e da distributividade. E, embora Z não seja corpo, ela também satisfaz ab=0Rightarrow a=0 ou b=0 por ser domínio de integridade.

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