Usando a lei do cancelamento, prove a unicidade do simétrico e do recíproco. Em particular, conclua que essa unicidade nos permite definir a subtração e a divisão diretamente por:
er
.
Passo 1
Estamos num contexto em que temos um conjunto com operações de soma e produto que satisfazem a propriedade de cancelamento, ou seja:
O objetivo é mostrar que, sob essas hipóteses, o inverso aditivo (simétrico) e o inverso multiplicativo (recíproco) são únicos. A partir daí, podemos definir subtração e divisão de forma direta.
Passo 2
Provar unicidade do inverso aditivo. Suponha que um elemento
tenha dois simétricos, digamos
e
, isto é,
Aplicando a lei do cancelamento na soma, como
, concluímos
Logo, o simétrico de
é único.
Passo 3
Provar unicidade do inverso multiplicativo. Suponha que um elemento não nulo
tenha dois recíprocos, digamos
e
, isto é,
Pelo cancelamento no produto (já que
), de
segue
Portanto, o recíproco de
também é único.
Passo 4
Graças a essa unicidade podemos definir diretamente:
– A subtração de por
somando o simétrico de
. Se chamamos de
o único elemento com
, então definimos
– A subtração de
– A divisão de
por
multiplicando pelo recíproco de
. Se chamamos de
o único elemento com
, então definimos
Resposta
Provamos que, sob a lei de cancelamento, o simétrico e o recíproco são únicos. Assim, faz sentido definir