Usando a lei do cancelamento, prove a unicidade do simétrico e do recíproco. Em particular, conclua que essa unicidade nos permite definir a subtração e a divisão diretamente por: r-s=r+s^prime er div s=r cdot s^prime prime.

Passo 1

Estamos num contexto em que temos um conjunto com operações de soma e produto que satisfazem a propriedade de cancelamento, ou seja:
se a + b = a + c então b = c, e se aneq0 e acdot b = acdot c então b = c ãã
O objetivo é mostrar que, sob essas hipóteses, o inverso aditivo (simétrico) e o inverso multiplicativo (recíproco) são únicos. A partir daí, podemos definir subtração e divisão de forma direta.

Passo 2

Provar unicidade do inverso aditivo. Suponha que um elemento r tenha dois simétricos, digamos s e t, isto é,
r + s = 0 e r + t = 0
Aplicando a lei do cancelamento na soma, como r + s = r + t, concluímos
s = t
Logo, o simétrico de r é único.

Passo 3

Provar unicidade do inverso multiplicativo. Suponha que um elemento não nulo rneq 0 tenha dois recíprocos, digamos u e v, isto é,
rcdot u = 1 e rcdot v = 1
Pelo cancelamento no produto (já que rneq0), de rcdot u = rcdot v segue
u = v
Portanto, o recíproco de r também é único.

Passo 4

Graças a essa unicidade podemos definir diretamente:
– A subtração de r por s somando o simétrico de s. Se chamamos de s' o único elemento com s + s' = 0, então definimos
r - s = r + s'
– A divisão de r por sneq0 multiplicando pelo recíproco de s. Se chamamos de s'' o único elemento com scdot s''=1, então definimos
r div s = r cdot s''

Resposta

Provamos que, sob a lei de cancelamento, o simétrico e o recíproco são únicos. Assim, faz sentido definir
r - s = r + s' e r div s = r cdot s''

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