Sendo
números racionais, mostre que:
i).
;
ii).
.
i).
ii).
Passo 1
O enunciado pede para trabalharmos com ordenação em
e mostrar duas coisas: i) que se
então ao inverter obtemos
; ii) que em geral
não implica
. Vamos usar propriedades de desigualdades em números racionais — em particular que multiplicar por número positivo preserva o sinal da desigualdade.
Passo 2
Prova de i). Suponha
. Então
e
, logo o produto
é positivo. Aí multiplicamos a desigualdade
por
, que é um número maior que zero, e preservamos o sentido:
Passo 3
Contraexemplo para ii). Basta achar
em
que viole
. Por exemplo, tome
Então
pois
, mas
de modo que
seria
, o que é falso. Portanto
.
Resposta
i) Se
, então
.
ii) Em geral não implica
; por exemplo, com
e
a desigualdade falha.
ii) Em geral