Sendo r, s números racionais, mostre que:
i). 0<r<s Rightarrow 1 / s</ 1 r;
ii). r<s nRightarrow 1 / s<1 / r.

Passo 1

O enunciado pede para trabalharmos com ordenação em Q e mostrar duas coisas: i) que se 0<r<s então ao inverter obtemos tfrac1s<tfrac1r; ii) que em geral r<s não implica tfrac1s<tfrac1r. Vamos usar propriedades de desigualdades em números racionais — em particular que multiplicar por número positivo preserva o sinal da desigualdade.

Passo 2

Prova de i). Suponha 0<r<s. Então r>0 e s>0, logo o produto rs é positivo. Aí multiplicamos a desigualdade r<s por 1rs, que é um número maior que zero, e preservamos o sentido:
r;<;s Longrightarrow rcdot1rs;<;scdot1rs Longrightarrow 1s;<;1r

Passo 3

Contraexemplo para ii). Basta achar r<s em Q que viole tfrac1s<tfrac1r. Por exemplo, tome
r = -1, s = 1
Então r<s pois -1<1, mas
1s = 1 e 1r = -1,
de modo que tfrac1s<tfrac1r seria 1< -1, o que é falso. Portanto r<snRightarrowtfrac1s<tfrac1r.

Resposta

i) Se 0<r<s, então tfrac1s<tfrac1r.
ii) Em geral r<s não implica tfrac1s<tfrac1r; por exemplo, com r=-1 e s=1 a desigualdade falha.

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