Calcule lim x 0^+(sinh x)^tan x

Passo 1

O enunciado pede
limxto0^+l(sinh xr)^tan x
Isso é um limite do tipo f(x)^g(x), em que f(x)>0 e g(x) vão para indeterminados. A técnica é usar logaritmo para transformar o problema em um limite de produto ou quociente, e depois, se for o caso, aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Seja
L = limxto0^+l(sinh xr)^tan x
Tomamos logaritmo natural em ambos os lados, obtendo
ln L = limxto0^+tan x ;ln!l(sinh xr)
Como tan xto0 e ln(sinh x)to -infty, temos uma indeterminação do tipo 0cdot(-infty). Para usar L’Hôpital, reescrevemos como quociente:
ln L = limxto0^+ln!l(sinh xr)cot x

Passo 3

Agora o limite está na forma tfrac-infty+infty, e podemos aplicar L’Hôpital. Derivando numerador e denominador:
ddxl[ln(sinh x)r] = cosh xsinh x, ddx[cot x] = -csc^2 x = -1sin^2 x
Logo
ln L = limxto0^+ cosh xsinh x-1sin^2 x = -,limxto0^+sin^2 x;cosh xsinh x
Como sin xsim x, sinh xsim x e cosh xsim1 quando xto0, vem
sin^2 x;cosh xsinh xsim x^2;1x=xlongrightarrow0
Portanto ln L=0.

Passo 4

Voltando da transformação pelo logaritmo, obtemos
L = e^ln L = e^0 = 1

Resposta

1

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