Mostre que as propriedades da proposição anterior nos permitem afirmar que, sendo r1, r2, s1, s2 in Q :
i). r1<s1 e r2<s2 Rightarrow r1+r2<s1+s2;
ii). 0<r1<s1 e 0<r2<s2 Rightarrow r1 r2<s1 s2.

Passo 1

O enunciado pede para provar duas desigualdades em Q usando as propriedades de corpo ordenado:
– Se a<b então a+c<b+c.
– Se 0<c<d e 0<a<b então ac<bd.
– Transitividade de <.
Temos r1,r2,s1,s2inQ e vamos mostrar:
i) r1<s1 e r2<s2implies r1+r2<s1+s2.
ii) 0<r1<s1 e 0<r2<s2implies r1r2<s1s2.

Passo 2

Para (i):
  1. De r1<s1, somando r2 a ambos os lados (propriedade de soma) vem
r1+r2<s1+r2
  1. De r2<s2, somando s1 a ambos os lados vem
s1+r2<s1+s2
  1. Aplicando transitividade de < em
r1+r2<s1+r2e s1+r2<s1+s2
concluímos
r1+r2<s1+s2

Passo 3

Para (ii):
  1. Como 0<r2 e r1<s1, multiplicar a desigualdade por r2 (positiva) dá
r1r2<s1r2
  1. Como 0<s1 e r2<s2, multiplicar essa desigualdade por s1 (positiva) dá
s1r2<s1s2
  1. Pela transitividade de < em
r1r2<s1r2e s1r2<s1s2
seguimos
r1r2<s1s2

Resposta

Demonstramos que
i) r1<s1 e r2<s2 implicam r1+r2<s1+s2,
ii) 0<r1<s1 e 0<r2<s2 implicam r1r2<s1s2,
usando apenas as propriedades de corpo ordenado em Q.

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