Seja
um subconjunto de
, que tem a seguinte propriedade: entre quaisquer dois elementos (distintos) de A encontramos infinitos elementos de A. Pede-se mostrar que tal conjunto
não precisa ser denso.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que existe um subconjunto
que satisfaz: “entre quaisquer dois elementos distintos de
há infinitos elementos de
”, mas que, mesmo assim, não é denso em
. Vamos dar um contraexemplo simples.
Passo 2
Defina
Primeiro, verificamos a propriedade interna de
. Sejam
com
. Como
é denso em
, existem infinitos racionais entre
e
. Além disso, todos esses racionais estão em
, logo pertencem a
. Portanto, entre quaisquer dois elementos de
há infinitos outros em
.
Passo 3
Agora mostramos que
não é denso em
. Basta encontrar dois racionais
tais que nenhum elemento de
fique estritamente entre
e
. Por exemplo, tome
e
. Qualquer
satisfaz
, então não pode estar no intervalo
. Logo não há elemento de
em
, e
falha em ser denso em
.
Resposta
Um exemplo é
que tem infinitos elementos entre quaisquer dois de seus pontos, mas não é denso em
.