Seja A um subconjunto de Q, que tem a seguinte propriedade: entre quaisquer dois elementos (distintos) de A encontramos infinitos elementos de A. Pede-se mostrar que tal conjunto A não precisa ser denso.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que existe um subconjunto AsubsetQ que satisfaz: “entre quaisquer dois elementos distintos de A há infinitos elementos de A”, mas que, mesmo assim, não é denso em Q. Vamos dar um contraexemplo simples.

Passo 2

Defina
A = Qcap(0,1)
Primeiro, verificamos a propriedade interna de A. Sejam p,qin A com p<q. Como Q é denso em R, existem infinitos racionais entre p e q. Além disso, todos esses racionais estão em (0,1), logo pertencem a A. Portanto, entre quaisquer dois elementos de A há infinitos outros em A.

Passo 3

Agora mostramos que A não é denso em Q. Basta encontrar dois racionais r<s tais que nenhum elemento de A fique estritamente entre r e s. Por exemplo, tome r=2 e s=3. Qualquer xin A satisfaz 0<x<1, então não pode estar no intervalo (2,3). Logo não há elemento de A em (2,3), e A falha em ser denso em Q.

Resposta

Um exemplo é
A = Qcap(0,1),
que tem infinitos elementos entre quaisquer dois de seus pontos, mas não é denso em Q.

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