Calcule o limite se existir lim x +infty sen(1x)arctan (1x)

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftysinl(tfrac1xr)arctanl(tfrac1xr)
Aqui o assunto é limites de razões que geram forma 0/0. Vamos usar troca de variável seguida de aplicação da regra de L’Hôpital.

Passo 2

Defina t=tfrac1x. Quando xto+infty, temos tto0^+.

Passo 3

Com essa mudança, o limite vira
limxto+inftysenl(tfrac1xr)arctanl(tfrac1xr) =limtto0^+sen tarctan t

Passo 4

O limite limtto0^+sin tarctan t é da forma 0/0, então aplicamos L’Hôpital:
ddtsin t=cos t, ddtarctan t=11+t^2
Logo,
limtto0^+sin tarctan t =limtto0^+cos t1/(1+t^2) =limtto0^+cos t,(1+t^2) =1cdot1=1

Resposta

1

Exercícios relacionados