Calcule lim x 0^+(tan x)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto0^+(tan x)^x. Aqui temos uma forma indeterminada do tipo 0^0, e a estratégia clássica é tomar logaritmo para transformar a expressão em algo tratável com limites elementares.

Passo 2

Denotemos
L = limxto0^+(tan x)^x
Como L>0 (para x pequeno tan x>0), podemos estudar
ln L = limxto0^+ lnl((tan x)^xr)
em vez de L diretamente.

Passo 3

Usando ln(a^b)=bln a, obtemos
ln L = limxto0^+ x;ln!l(tan xr)

Passo 4

Para xto0^+, sabe-se que tan xsim x, isto é,
limxto0^+tan xx=1
Portanto
ln(tan x)=ln x + ln!(tan xx)
e ln(tan x/x)to0. Logo ln(tan x)=ln x + o(1).

Passo 5

Substituindo em xln(tan x), vem
xln(tan x)=xln x + xcdot o(1)
Mas limxto0^+xln x=0 e limxto0^+xcdot o(1)=0. Logo
ln L = 0

Passo 6

Concluímos que
L = e^ln L = e^0 = 1

Resposta

1

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