Prove que a integral abaixo existe integral0^1 cos 1xraizx d x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral imprópria
integral0^1cos1xraizx,dx
existe (isto é, converge). Trata–se de um problema de análise de convergência de integral imprópria no ponto x=0. Para resolver vamos:
1. Isolar a região problemática em torno de 0.
2. Aplicar integração por partes em integral0^varepsiloncos1xraizx,dx.
3. Reduzir a um integral do tipo integralA^inftysin tt^1/2,dt e usar o teste de Dirichlet.

Passo 2

Seja 0<varepsilon<1. Como o integrando é contínuo em [varepsilon,1], integralvarepsilon^1cos(1/x)raizx,dx existe e é finito. Logo a única dificuldade está em
integral0^varepsiloncos1xraizx,dx,
que é imprópria no limite inferior. Vamos mostrar que o limite
limvarepsilonto0^+integral0^varepsiloncos1xraizx,dx
existe.

Passo 3

Aplique integração por partes em
integral0^varepsilonu,dv
escolhendo
u=cos1x, dv=dxraizx
Então
du=sin1xx^2,dx, v=integral x^-1/2,dx=2raizx
Logo
integral0^varepsiloncos1xraizx,dx =l[2raizx,cos1xr]0^varepsilon -2integral0^varepsilonraizx,sin1xx^2,dx
Note que
limxto0^+2raizxcos1x=0,
portanto o termo de contorno em 0 some, e obtemos
integral0^varepsiloncos1xraizx,dx =2raizvarepsilon,cos1varepsilon -2integral0^varepsilonx^-3/2sin1x,dx

Passo 4

Faça a mudança de variável t=1/x no segundo termo: quando x vai de 0^+ a varepsilon, t vai de +infty a 1/varepsilon, e dx=-t^-2dt. Então
integral0^varepsilonx^-3/2sin1x,dx =integralinfty^1/varepsilon l(t^3/2r)sin t,(-t^-2),dt =integral1/varepsilon^inftysin tt^1/2,dt
Portanto
integral0^varepsiloncos1xraizx,dx =2raizvarepsilon,cos1varepsilon -2integral1/varepsilon^inftysin tt^1/2,dt

Passo 5

1. O termo 2raizvarepsiloncos1varepsilon tende a 0 quando varepsilonto0^+.
2. A integral imprópria
integral1/varepsilon^inftysin tt^1/2,dt
converge por teste de Dirichlet, pois sin t tem integral parcial limitada e t^-1/2 decresce monoticamente a 0.
Assim o limite
limvarepsilonto0^+integral0^varepsiloncos1xraizx,dx
existe e é finito. Somando com a parte em [varepsilon,1], concluímos que
integral0^1cos1xraizx,dx
converge.

Resposta

A integral
integral0^1cos1xraizx,dx
existe (converge) como integral imprópria.

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