Prove que a integral abaixo existe
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral imprópria
existe (isto é, converge). Trata–se de um problema de análise de convergência de integral imprópria no ponto
. Para resolver vamos:
. Isolar a região problemática em torno de
.
. Aplicar integração por partes em
.
. Reduzir a um integral do tipo
e usar o teste de Dirichlet.
Passo 2
Seja
. Como o integrando é contínuo em
,
existe e é finito. Logo a única dificuldade está em
que é imprópria no limite inferior. Vamos mostrar que o limite
existe.
Passo 3
Aplique integração por partes em
escolhendo
escolhendo
Então
Logo
Note que
,
portanto o termo de contorno em some, e obtemos
portanto o termo de contorno em
Passo 4
Faça a mudança de variável
no segundo termo: quando
vai de
a
,
vai de
a
, e
. Então
Portanto
Passo 5
converge por teste de Dirichlet, pois
tem integral parcial limitada e
decresce monoticamente a
.
Assim o limite
existe e é finito. Somando com a parte em , concluímos que
converge.
Assim o limite
existe e é finito. Somando com a parte em
converge.
Resposta
A integral
existe (converge) como integral imprópria.