(Retirado do livro Matemática Atual, de Antônio José Lopes Bigode,
série, Ed.Atual, 1994)
i). Dê o valor de um número racional entre
e
.
ii). Apresente um número racional que seja maior do que
e menor do que
, sabendo apenas que
.
i). Dê o valor de um número racional entre
ii). Apresente um número racional que seja maior do que
Passo 1
O enunciado entra na parte de análise de densidade dos racionais em
.
i) Pede um racional entre e
.
ii) Pede um racional maior que e menor que
, sabendo apenas que
.
Vamos usar (i) a média aritmética para achar um racional entre dois dados e (ii) o Princípio de Arquimedes para garantir que existe com
.
i) Pede um racional entre
ii) Pede um racional maior que
Vamos usar (i) a média aritmética para achar um racional entre dois dados e (ii) o Princípio de Arquimedes para garantir que existe
Passo 2
Para (i), calculamos a média de
e
:
Verificamos que
logo
está mesmo entre os dois.
Passo 3
Concluímos que um número racional entre
e
é
Passo 4
Para (ii), como
, temos
.
Pelo Princípio de Arquimedes, existe tal que
Pelo Princípio de Arquimedes, existe
Definimos então
Como soma de racionais,
é racional. E
Passo 5
Escrevendo
com uma única fração,
que é um número racional satisfazendo
.
Resposta
i)
.
ii) Por exemplo, , onde
satisfaz
.
ii) Por exemplo,