(Retirado do livro Matemática Atual, de Antônio José Lopes Bigode, 7^a série, Ed.Atual, 1994)
i). Dê o valor de um número racional entre 2 / 5 e 2 / 3.
ii). Apresente um número racional que seja maior do que 3 / 4 e menor do que r, sabendo apenas que 3 / 4<r.

Passo 1

O enunciado entra na parte de análise de densidade dos racionais em R.
i) Pede um racional entre tfrac25 e tfrac23.
ii) Pede um racional maior que tfrac34 e menor que r, sabendo apenas que tfrac34<r.
Vamos usar (i) a média aritmética para achar um racional entre dois dados e (ii) o Princípio de Arquimedes para garantir que existe ninN com tfrac1n<r-tfrac34.

Passo 2

Para (i), calculamos a média de tfrac25 e tfrac23:
tfrac25 + tfrac232 =tfrac615 + tfrac10152 =tfrac16152 =tfrac815
Verificamos que
tfrac25=0,4<tfrac815approx0,533ldots<0,666ldots=tfrac23,
logo tfrac815 está mesmo entre os dois.

Passo 3

Concluímos que um número racional entre tfrac25 e tfrac23 é
815

Passo 4

Para (ii), como tfrac34<r, temos r-tfrac34>0.
Pelo Princípio de Arquimedes, existe ninN tal que
0<1n<r-34
Definimos então
s = 34 + 1n
Como soma de racionais, s é racional. E
34 < s < 34 + l(r-tfrac34r) = r

Passo 5

Escrevendo s com uma única fração,
s = 34+1n = 3n4n + 1n = 3n+44n,
que é um número racional satisfazendo tfrac34<tfrac3n+44n<r.

Resposta

i) 815.
ii) Por exemplo, 3n+44n, onde ninN satisfaz tfrac1n<r-tfrac34.

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